需要掌握：
介绍
在一个多变量函数里，只让一个变量变化，其他变量都固定时，函数的变化率。
为什么需要偏导数？
当函数只有一个变量时，比如
y = f(x)
我们用普通导数 dy/dx 就能描述它的变化率。
但现实世界（尤其是深度学习）里，函数往往有很多变量，比如：
- z = f(x, y)
- 损失 L = f(w1, w2, w3, …)
这时你想知道：
- 当 w1 变一点点，损失会怎么变？
- w2 变一点点，损失会怎么变？
- 其他参数保持不变。
这就是偏导数要解决的问题。
偏导数的数学定义
对函数：
z = f(x, y)
对 x 的偏导数：把 y 当成常数，只让 x 变化。
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}
对 y 的偏导数：把 x 当成常数，只让 y 变化。
\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}
符号 ∂ 读作“偏”，意思是“只让这个变量动”。
例子
函数：
z = x² + 3xy + y²
求：∂z/∂x 和 ∂z/∂y
求 ∂z/∂x（把 y 当常数）
- x² 的导数是 2x
- 3xy 的导数是 3y（y 是常数）
- y² 的导数是 0（完全是常数）
所以：∂z/∂x = 2x + 3y
求 ∂z/∂y（把 x 当常数）
- x² 的导数是 0
- 3xy 的导数是 3x
- y² 的导数是 2y
所以：∂z/∂y = 3x + 2y
偏导数的几何意义
对 z = f(x, y)来说：
- ∂z/∂x：沿着 x 轴方向的斜率
- ∂z/∂y：沿着 y 轴方向的斜率
想象你站在一座山上：
- x 轴是往东走
- y 轴是往北走
- ∂z/∂x 是往东走时山坡有多陡
- ∂z/∂y 是往北走时山坡有多陡
这两个斜率合在一起，就是“梯度”，指向最陡的上坡方向。
偏导数和梯度下降（深度学习里最重要的用途）
在深度学习中，损失函数 L 是关于所有参数 w 的函数：
L = f(w1, w2, w3, ...)
训练的目标是让 L 尽可能小。
偏导数告诉我们：
- 改变 w1 一点点，L 会变多少？
- 改变 w2 一点点，L 会变多少？
梯度下降更新规则：
w = w - η * (∂L/∂w)
意思是：
- 如果
∂L/∂w是正的 → 增大 w 会让 L 变大 → 要减小 w - 如果
∂L/∂w是负的 → 增大 w 会让 L 变小 → 要增大 w
这就是训练模型的数学本质。
总结
偏导数就是：
多变量函数中，只让一个变量变化，其他变量固定时的变化率。
它告诉我们：
- 每个变量对函数值的“单独影响”
- 梯度下降该往哪个方向走