函数依赖
设R(U)是属性U上的一个关系模式，X和Y是U的子集，r为R的任一关系，如果对于r中的任意两个元组u，V，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定或称Y函数依赖于X，记为X→Y。
一句话理解
关系模式中，一个或多个属性值，可以决定另一个或多个属性值
一个属性确定另一个属性
关系中的 A属性 能推导出 B属性（A属性 能确定 B属性），那么就说 B属性 依赖 A属性，记为：A → B
正例：知道某学生的 学号，就能确定该学生的 姓名
反例：知道某学生的 年龄，不能确定 该学生的 姓名
一个属性确定多个属性
正例：知道某学生的 学号，就能确定该学生的 姓名、年龄、性别 等属性
反例：知道某学生的 年龄，不能确定 该学生的 姓名、性别 等属性
多个属性确定另一个属性
正例：知道某学生的 学号、学科名，就能确定该学生的 该学科分数
反例：知道某学生的 性别、年龄，不能确定 该学生的 姓名
依赖分类
部分函数依赖
关系模式：R1(A，B，C，D)。关系模式R1有4个属性A，B，C，D
依赖集： {AB → D，A → C}。如上图，AB能推导出D，A能推导出C
主键：AB能确定所有属性，所以 AB 是 候选键，也是主键
非主键 C属性，由 A 推导出，A 是 主键AB 的一部分。非主键属性，由主键的一部分推导出，就是部分函数依赖
传递函数依赖
关系模式： R2(A，B，C)。关系模式R2有3个属性A，B，C
依赖集: {A → B，B → C}。如上图，A能推导出B，B能推导出C
主键：A 能确定 B、C，所以A是主键
由：A → B，B → C，可得出 A → C。C 不直接依赖 主键A，而是通过 B 依赖 主键A，这种就是 传递函数依赖
函数依赖推理规则
有下面3个推理规律：
- 自反律
- 增广律
- 传递律
根据上面3个规律得到下面3条推理规则：
- 合并规则
- 伪传递规则
- 分解规则
A1.自反律（Reflexivity）
若 Y \subseteq X \subseteq U ，则 X \rightarrow Y 成立。
解释：
Y \subseteq X \subseteq U： Y 是 X 的子集，X 和 Y 是 U 的子集
X \rightarrow Y： X 推导出 Y
整体解释：因为 Y 是 X 的子集，所以知道 X 所有属性值，那自然也就知道了 Y 的属性值
例子
关系模式：R(学号, 姓名, 年龄, 班级)
X = {学号, 姓名}
Y = {姓名}
显然：
Y ⊆ X（姓名 是 学号、姓名 的子集）
根据自反律：X → Y 成立，即：{学号, 姓名} → {姓名}
也就是说，如果你知道了一个学生的 学号 和 姓名，那你当然就知道了他的 姓名
A2.增广律（Augmentation）
若 Z \subseteq U 且 X \rightarrow Y，则 XZ \rightarrow YZ成立
解释：
- U 是关系模式的所有属性的集合。
- X、Y、Z 是 U 的子集。
- X → Y 表示X函数决定Y
整体解释：生成新的函数依赖 XZ → YZ
例子
假设关系模式 R(学号，姓名，年龄，生日，性别)，并且有以下函数依赖：
生日 → 年龄
那么根据增广律：
生日,性别 → 年龄,性别
即：如果知道了学生的学号和年龄，就可以确定该学生的姓名和年龄。
A3.传递律（Transitivity）
若 X → Y 且 Y → Z，则 X → Z 成立。
例子
身份证 → 生日 且 生日 → 年龄，则 身份证 → 年龄
合并规则
若 X → Y，X → Z，则 X → YZ
解释：若 X 推导出 Y，X 推导出 Z，那么 X 推导出 YZ
例子
学号 → 姓名，学号 → 手机号，那么 学号 → 姓名,手机号
伪传递规则
与上面传递规则类似，但又不同
若 X → Y，WY → Z，则 XW → Z
解释：若 X 推导出 Y，WY 推导出 Z，那么 XW 推导出 Z
例子
学号 → 姓名，学科名,姓名 → 学科分数，那么 学号,学科名 → 学科分数
分解规则
若 X → Y，Z \subseteq Y，则 X → Z
解释：如果属性集 X 能决定属性集 Y；那么对于 Y 的任意子集 Z，X 也能决定它。
例子
学生表(学号, 姓名, 年龄, 班级, 成绩)
已知一个函数依赖：学号 → {姓名,年龄,班级}，
现在取 Z={年龄}，那么 {年龄}⊆{姓名,年龄,班级}
根据分解规则，推导出：学号 → 年龄