点积越大，向量之间的对齐程度或相似度就越高 作者：马育民 • 2026-01-13 23:18 • 阅读：10001 # 介绍 点积越大，向量之间的对齐程度或相似度就越高。但需要一个前提：**在向量长度（模长）相同或被归一化的情况下** # 点积几何解释 点积相似性在几何上可以通过角度解释。两个向量的点积可以表示为： ``` a⋅b=||a|| ||b|| cosθ ``` - `||a||` 和 `||b||` 分别是向量 a 和 b 的模（即长度）。 - θ 是这两个向量之间的夹角 点积同时受 **长度** 和 **夹角** 共同影响。 ### 根据这一公式可以得出 - 当 `θ = 0°` 时，两个向量完全平行，点积达到最大值，表示它们高度相似。 - 当 `θ = 90°` 时，两个向量正交，点积为零，表示它们不相关。 - 当 `θ = 180°` 时，两个向量反向，点积为负数，表示它们不相似甚至是反相似。 # 例子 ### 例子 1：方向一样，长度一样 设 ``` a = (3, 0) b = (3, 0) ``` 点积： ``` a·b = 3×3 + 0×0 = 9 ``` 夹角：`0°`（完全同向） **结论：**点积很大，夹角很小 → 非常相似。 ### 例子 2：方向一样，长度不同 设 ``` a = (3, 0) c = (6, 0) ``` 点积： ``` a·c = 3×6 + 0×0 = 18 ``` 夹角：还是 `0°`（方向一样） 这里点积 **比 例子1 更大**，但并 **不是因为“更相似”**，而是**因为 c 更长**。 **结论：**点积变大 ≠ 一定更相似，也可能只是“更长”。 ### 例子 3：方向不同，长度一样 设 ``` a = (3, 0) d = (0, 3) ``` 点积： ``` a·d = 3×0 + 0×3 = 0 ``` 夹角：90°（垂直） **结论：**点积为 0，夹角 90° → 完全不相似（正交）。 ### 例子 4：方向有点像，长度一样 设 ``` a = (3, 0) e = (2, 2) ``` 点积： ``` a·e = 3×2 + 0×2 = 6 ``` 夹角：大约 `45°` 对比例子 1： - a·b = 9（夹角 0°，很像） - a·e = 6（夹角 45°，有点像） **结论：**点积变小了，夹角变大了 → 相似度下降。 ### 例子 5：方向相反 设 ``` a = (3, 0) f = (-3, 0) ``` 点积： ``` a·f = 3×(-3) + 0×0 = -9 ``` 夹角：`180°`（完全相反） **结论：**点积为负且绝对值大 → 方向相反 → 完全不相似，甚至“相反”。 ### 综合对比一下 | 向量对 | 点积 | 夹角 | 直观理解 | |--------|------|------|----------| | a·b | 9 | 0° | 完全同向，很相似 | | a·c | 18 | 0° | 同向，但 c 更长 | | a·e | 6 | 45° | 有点像 | | a·d | 0 | 90° | 完全无关 | | a·f | -9 | 180° | 完全相反 | 可以看到： - 在**长度差不多**的前提下：点积从 9 → 6 → 0 → -9，夹角从 0° → 45° → 90° → 180°，相似度越来越低。 - 但 `a·c = 18` 虽然比 `a·b = 9` 大，却并不是“更相似”，只是 c 更长。 所以才会说：在向量长度相近或被归一化时，点积越大，向量之间的对齐程度/相似度越高。 参考： https://blog.csdn.net/weixin_43221845/article/details/142672823 原文出处：http://www.malaoshi.top/show_1GW2aS7IOdvi.html